相对论简述 -- 广义相对论

天涯风001

相对论简述 -- 广义相对论  
上一篇我们说到，狭义相对论的整个框架，完全是建立在相对性原理，以及光速不变原理的基础上。爱因斯坦抛弃了被承认了几百年的绝对时空观，将电磁学与相对性原理结合在一起，提出了与观察者运动状态有关的时空观。在这个新的时空观念下，许多原本以为恒定不变的物理量概念，变成了与观察者运动状态有关的相对物理量。整个物理学的背景，都被挂上了相对的含义。

这里我再说一说绝对时空观。因为广义相对论是爱因斯坦第二次打破绝对时空观后所产生的思想。

牛顿时代，大家都对宇宙有这么一个蓝图：整个宇宙好比一个蛋，这个宇宙蛋是绝对静止的。只要我们的科技不断地进步，总有一天可以把整个宇宙的结构给搞清楚，然后建立一个对全宇宙尺度上而言都满足的绝对的坐标系，任何时刻，任何地点所发生的物理事件，在任何情况下的记录值都是相同的。这个绝对的坐标系包括空间坐标，也包括时间坐标，称为普适的参考系。牛顿认为，时间和空间，就是这么一个可以被普适参考系所描述的概念。

在牛顿参考系中，惯性参考系是具有独特地位的。而在惯性参考系中，绝对静止不动的绝对参考系是具有最高优先权的。这类似一个等级制度。在绝对参考系中所描述的物理状态，才是最简洁，最正确，最具有永恒意义的。

我们知道，牛顿力学的规律形式，都是在“静止参考系”内成立的。在非惯性系中，必须引入一个称为“惯性力”的东西，才能使得牛顿力学的规律形式保持原样。同样，在惯性系中，必须引入惯性系相对于绝对参考系的速度，才能够使得牛顿力学的规律形式保持原样。惯性系之间，必须通过坐标变换，才使得俩惯性系之间的力学结果保持一致。同样，非惯性系必须通过另一种坐标变换，才能够使得非惯性系之间的力学保持一致。

这是很复杂的东西。我们有一种预感，就是越复杂的概念，越不准确。

看看相对性原理的第一次扩展，把相对性原理的适用范围，从原本的力学，扩展到了所有物理学规律。这就提示了我们，宇宙的规律，在深层的原理上，是适普而简洁的。

爱因斯坦再一次思考相对性原理，他希望把惯性系这个限制也拿掉，最终成为：在任何参考系内，包括惯性的，和非惯性的参考系，一切物理规律的形式都是一致的。换句话说：处于任何运动状态的观察者，他观察到的物理规律形式，都是完全相同的。

这是一个革命的扩展。第一次扩展，是把物理规律统一起来；这第二次扩展，却把参考系统一起来。爱因斯坦把惯性系的那些可怜的优越地位也剥夺了。在他的理念中，所有观察者都是平等的。

提到非惯性系，就必然要提到非惯性运动，也就是加速运动。然而所谓的“加速”，也是一个相对概念。爱因斯坦抛弃了那个高高在上的绝对参考系，从逻辑上认为“绝对静止”是一个毫无意义的概念。既然绝对静止毫无意义，那么绝对惯性运动也是毫无意义的。没有一个绝对的标准（参照物）可以说某物是处于绝对的惯性运动过程中。所以，加速也是一个相对的概念，只要是另一个处于同样加速运动的观察者来看，这个加速的非惯性运动的物体的运动状态，也就成为了惯性运动状态了。这就是非惯性运动与惯性运动的统一的基础。

我们会说，施加了作用力，才使得物体的运动状态发生改变。我们可以根据观察物体的受力状态，就可以推测该物体是否处于惯性运动状态了。不错，的确如此。不过有一个循环论证的矛盾。我们如何来判断该物体的受力状态？科学的方法是根据其运动状态的改变来判断；而我们又期望通过测量物体受力状态，来推测物体的运动状态的改变。

上述的循环矛盾，对引力来说犹是如此。

一个自由落体的物体，我们根据该物体相对于地面的速度的变化，来判断地面对该物体的引力是多少。而如果我们根本无法测量出该物体相对于地面的速度为如何时，该如何判断该物体受到的引力是多少呢？比如，在一个封闭的自由落体的电梯内的观察者，他该如何判断，他受到的引力是多少？


  
作者： 218.79.65.*  2006-9-11 12:43 　 回复此发言   

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2 相对论简述 -- 广义相对论  

在这么一个封闭的环境内，观察者发现他居然处于一个失重的状态，就如在太空中一样。如果他睡着了，过了几小时后他醒了过来，发现他还是处于失重状态，那么他根本无法判断他到底是在外太空呢，还是还在进行自由落体运动。当然，如果这个电梯的体积足够大，他还是能够判断的，因为如果是自由落体，由于星球的引力线是集中到星球中心的，那么足够远距离的两个小球必定会不断靠近。但是如果这个电梯的尺度相对于星球来说是极小的话，那么他就连这个方案也不行了。他所做的一切力学实验，都无法判断出他所处的是何种状态。

这就是爱因斯坦提出的著名的封闭电梯理想实验。他通过这个理想实验指出，足够小尺度的非惯性系，在力学上与惯性系是没有区别的。这就是弱等效原理。等效，指的是非惯性系与惯性系是等效的。弱，指的是仅仅针对力学而言。如果把力学改为一切物理学，包括电磁学，那么这个等效原理就称为强等效原理。在强等效原理中，观察者就算继续做电磁学的实验，也无法判断出他的运动状态。从这里可以看出，光线，也就是电磁波，在非惯性系中的传播路径，必然是弯曲的，而不再是直线。

在非惯性系中，我们要使用牛顿力学，必须引入一个惯性力。而自由落体的非惯性系中，这个惯性力的本质就是引力。爱因斯坦于是说，惯性力，其实与引力是等效的。或者反过来说，引力，其实就是惯性力。

一旦认识到引力与惯性力本质上是一回事之后，再回过头来看看非惯性系，发现一切非惯性系，都可以看作是处于一个仅受引力状态的惯性系。同样，一切仅受引力作用的物体，都可以等效为一个处于非惯性系的物体。

好，咱们现在确认了两点：

第一，惯性系和非惯性系没有本质上的区别。于是相对性原理可以扩展到非惯性系领域。这需要另一个基础。

第二，另一个基础就是等效原理，引力和惯性力是等效的。

接着咱们来看看这两个原理可以得到什么样的结论吧。同样，考察电磁波，也就是光束的情况。

对一个非惯性系，一束光垂直于非惯性系运动方向穿过。处于非惯性系中的观察者，将看到该光束的路径，是弯曲的。而非惯性系相当于引力场中的惯性系，所以说，引力会使得光束弯曲。

爱因斯坦认为，电磁波的运行轨迹必须是“直线”，或者说必须是两点间最短的路径。那么这个弯曲的路径，在非惯性系中也就必须是最短的路径了。这么说来，这个弯曲的路径，居然比非惯性系中的直线，更短？？这要看“短”的含义。一般认为，所谓的更短，意味着以同一个速度，花更少的时间达到目的地。非惯性系中的时间，会发生非线性的膨胀。光束所走的路径，必定是费时最少的那条路径。

这就与我们的常识完全相悖。该如何理解呢？咱们再设想下面一个理想实验。

在一个大的平直转盘上，一个观察者位于转盘中心，相对于地面静止。转盘以一定的角速度旋转。注意，在这里咱们忽略掉地面的引力作用。

这个观察者发现，由于转盘圆周上的尺子，相对于自己以一定速度运动，这些尺子的长度都缩短了。也就是说，他发现转盘的周长缩短了。可是转盘的直径却没有任何缩短。此时，他得出的结论是：旋转转盘的圆周率PAI值缩小了！

这相当于怎么样的情形呢？比如我们地球的表面，以北极点为圆心，以赤道为圆周，那么可以看出，这时候的圆周率，也是小于3.14的。这不是一个平直的圆，而是一个三维曲面圆。

回到那个转盘，由于旋转，使得观察者认为，这个转盘由原本的平直，变成一个三维曲面圆！也就是说，平面被弯曲了！

非惯性系中的空间，是弯曲的空间。非惯性系中的观察者，认为外部世界也是一个大的非惯性系，也是弯曲的空间。引力使空间弯曲。

如果我们在那个转盘的圆周上放置一圈小时钟，那么圆心观察者会发现，这些时钟的走动会变慢。离圆心越远，变慢得更厉害。所以说，非惯性系中的时间，会发生非线性的膨胀。或者说，引力使得时间变慢。


  
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3 相对论简述 -- 广义相对论  

综合这两者，引力或者惯性力，会使得其周围的时间和空间都发生弯曲。这不得不使人联想到时间和空间是否是一体。爱因斯坦就是如此把时间和空间看作一体的不同侧面，这个整体就是四维时空。平直的四维时空，就是狭义相对论所满足的情形；而弯曲的四维时空，是广义相对论所适合的情形。俄国的闵可夫斯基定义了平直的四维时空，以长宽高为三个维度，以ict为第四个维度。i是虚数单位，c是光速，t是时间单位。于是，xx+yy+zz+(ict)^2=0，组成了一个四维平直空间。狭义相对论的方程在这个平直空间内成立。

而要建立非惯性的弯曲空间，就必须使用非欧几何。爱因斯坦数学方面不行，学了好几年才将非欧几何的一个分支--黎曼几何给勉强学完，然后以黎曼几何为蓝本，建立了方程组，这就是广义相对论。

这里简单介绍下黎曼几何。

在欧几里德几何学中，有一个平行线公理。这个公理说：两条互相平行的直线，永远不可能相交。如果把这个平行线公理去掉的话，剩下的4个公理组成的几何学，称为非欧几何学。平行线公理定义的空间，必然是平直的空间。而去掉这个公理，那么几何学就是非平直的空间，也就是弯曲的空间几何学。比如地球表面组成的二维平面，找不到两条不相交的平行线。

这里说说直线的定义。直线，定义为两点间最短的路径。在地球表面，从南极到北极，最短的路径就是纬线。赤道也是另一条最短的路径。所以在地球表面，“直线”就是这些最大的圆周线。这些扩展了的直线概念，我们称为“测地线”，或者称为“短程线”。在弯曲的空间内，短程线是最短的路径。

黎曼几何就是类似于地球表面这样的弯曲空间的几何学，在这里，几乎所有的平面几何定理都不成立。描述这样的弯曲空间几何学，我们使用微分几何。这里不再赘述详细的细节。

引力使得周围的空间弯曲，光束在这弯曲空间内以短程线为传播路径。弯曲的四维时空的短程线，在三维平直空间内的投影，就是一条曲线。而如果我们能够画出一幅四维时空图的话，那么光束在这图中的路径肯定是一条笔直的四维直线。

引力等效于弯曲的时空。在弯曲的时空背景下，引力是不存在的。一个仅受引力作用的物体，在弯曲时空中，是一个不受力的物体，它的运动轨迹必然是匀速直线。描述这个的方程，就是自由粒子的运动方程，相当于牛顿第一定律的地位。牛1定律的数学形式可以写成：

ddx/dtt+ddy/dtt+ddz/dtt=0（相当于物体加速度的三个分量=0）

自由粒子运动方程的本质跟上面的方程在形式上没有区别，只不过空间分量的x、y、z，代之以四维时空的四个分量。

咱们继续回到那个小电梯的问题上，同时用弯曲空间和平直空间之间的关系，来体会广义相对论与狭义相对论之间的关系。

我们知道，在弯曲平面的某个极小范围内，可以认为是近似于平直的平面。当这个小范围趋近于无限小的时候，这个区域称为局域平直平面，可以认为是平直的，是一个极限状态。

在广义相对论的弯曲时空内，我们可以提出一个极小范围的时空区域，这个区域可以看作是一个平直的惯性系，我们称为“局域惯性系”。在每一个局域惯性系中，狭义相对论的一切结论都成立，包括尺缩、时胀、质量膨胀等。而我们知道，惯性系之间，存在一个统一的洛仑兹变换方式。那么一个局域惯性系，与其周围相邻的局域惯性系之间的坐标变换关系又是如何的呢？

这个问题不是能够用一个方程组就能够解决的，它牵涉到多个分量。所有这些分量组合在一起，组成一个类似于矩阵的方程，我们称之为“张量方程”。由张量方程，我们可以定义相邻两个局域惯性系之间的所有坐标变换关系，就好比两个惯性系之间的坐标变换一样，可以精确计算。要注意一点：惯性系之间的每一个坐标分量的坐标变换，都与另一个惯性系的其他坐标分量都有关系，是那些坐标分量的函数。同样更复杂地，局域惯性系之间的某个分量的坐标变换，是其相邻局域惯性系中的所有分量的函数。这个复杂的变换方式，数学上称为“联络和仿射”，是弯曲空间的特有的变换方式。注意：这些变换方程，都是微分方程。


  
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4 相对论简述 -- 广义相对论  

如此一来，我们就可以定义任意地点的局域惯性系，与其周围其他局域惯性系之间的变换关系了。所有的局域惯性系连成一片，组成整个弯曲四维时空。在这个四维弯曲时空内，力学形式与牛顿力学形式基本相同。而引力，或者说惯性力，作为弯曲时空的“错觉”，被排除在概念之外了。

爱因斯坦认为，物质的质量分布状态，决定了时空的弯曲状态。根据这个，爱因斯坦给出了一个方程，就是物质分布与时空弯曲的关系方程，这就是广义相对论的场方程。

在广义相对论中，最有趣的应该属于时间这个特性了。

在狭义相对论中，不同惯性系之间的时间是不同的。而在广义相对论中，每一个局域惯性系中的时间是不同的，而一个非惯性系中的时间更是处处不同。如果一个人走了一条随意弯曲的路径的话，那么对于不同参考系的观察者来说，他们各自得出的这个人所经历的时间，也都各自不同。而当事人也有一个时间，这个时间与其他所有观察者的结论都不同。不过这个当事人的时间标准属于他自己的标准时间，他并不会体会到旁人所观察到的一系列乱哄哄的时间过程。他体会到的时间过程，与每个人体会到自己的时间过程，都是相类似的。这个当事人的时间过程，我们称为“固有时间”，或者“本征时间”。

说到这个，目的就是为了说明相对论中的双生子佯谬。

狭义相对论提出不久，就有人对它提出非议。有人举了一个例子：

一对地球上出生的双生子，一个乘坐近光速的飞船远离地球，然后返回到地球。出发前，双生子的岁数是相同的；出发后，由于地球上的那个弟弟认为哥哥运动时时间会膨胀，于是当哥哥回来时，哥哥经历的时间要少些，所以哥哥会比弟弟年轻。反过来，飞船上的哥哥会认为地球远离了自己，地球上的弟弟经历了更少的时间，再次相遇时，弟弟会更年轻些。由于狭义相对论认为飞船和地球这两个惯性系是平等的，那么两个人的推测都应该是正确的。可是这两个推测是相互矛盾的。

我们可以用相对论的一些术语来重新描述这个理想实验。

双生子的哥哥乘飞船离开地球后返回，与弟弟相遇。由于地球上的弟弟认为哥哥所经历的本征时间比弟弟短，所以弟弟认为哥哥回来后会更年轻；同时飞船上的哥哥认为弟弟所经历的本征时间更短，所以认为回去后弟弟会更年轻。

其实这个佯谬根本不成立。为啥呢？因为哥哥的返回，需要一个非惯性运动。正是这个非惯性运动，使得哥哥的本征时间更短，甚至短于哥哥所认为的弟弟经历的时间膨胀的时间差。可以通过广义相对论的一个对两者本征时间进行路径积分就可以计算出，哥哥回来后更年轻。

广义相对论是对惯性系的推广，将惯性系与非惯性系统一起来，拉平了两者之间的不平等性。相对性原理在更高的层次上成立：一切物理规律的形式，在一切参考系内，都是相同的。所以我们可以这么说：相对论的发展，其实就是相对性原理的发展。相对性原理的下一步发展，将是什么样的思路和结果呢？大家拭目以待。

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